高中数学碎记

解题方法

函数

1、若 $f(x+a)$ 为奇函数，则 $f(x+a)=-f(-x+a)$ 函数$max+min = 0$

2、求解析式可以使用换元法

3、$x\in[-1,1]$ 可以令 $x=cos\theta$，$x\in [-\sqrt2,\sqrt2]$可以令$x=\sqrt2cos\theta$

4、诸如 $f(x+y)+f(x)=xy+x^2+y^2$ 求解析式可以分别令 $x=y=0$ 带入求解

5、诸如 $f(f(x)+\frac{a}{x})=3$ 且 $f(x)$ 在某区间单调，则有 $f(x)+\frac{a}{x}$ 一定为定值 $t$，则有 $f(x)=t-\frac{a}{x}$，根据题目所给数据求解即可

6、形如 $log_a(a^{mx}+1)-\frac{mx}{2}$ 为奇函数，只需将 $\frac{mx}{2}=log_a(a^{\frac{mx}{2}})$ 代入即可证

7、周期性的关系：
（1）两个对称轴 $x=a$，$x=b\ \ $ $\Rightarrow$ $T=2|b-a|$
（2）两个对称中心 $(a,0)$，$(b,0)\ \ $ $\Rightarrow$ $T=2|b-a|$
（3）一个对称中心 $(a,0)$，一个对称轴 $x=b\ \ $ $\Rightarrow$ $T=4|b-a|$
（4）$f(x+a)=\frac{b}{f(x)}$ 则周期为 $2a$

8、诸如 $f(x)+f(y)=f(xy)$ ：
  令 $x=y=1$ 和 $x=y=-1$ 可得 $f(1)=f(-1)=0$
  再令 $y=-1$ 得 $f(x)=-f(-x)$ 即 $f(x)$ 为奇函数
  同理可得诸如 $f(x)+f(y)=f(x+y)$ $f(x)$ 为偶函数

9、诸如 $f(x)+f(y)=f(xy)$ 有 $x>1$ 时 $ f(x)<0$
  证明：$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 的单调性
  $f(x_2)-f(x_1)=f(\frac{x_2}{x_1}x_1)-f(x_1)$

10、对称
（1）$f(x)+f(-x)=\lambda$ $\Rightarrow$ $(0,\frac{\lambda}{2})$
（2）$f(a+x)+f(b-x)=c$ $\Rightarrow$ $(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$
（3）$f(x+a)=f(x-a)$ $\Rightarrow$ $T=2a$

11、类周期函数
   例：$f(x+2) = 2f(x)$ 其中 $x\in[0,2)\ f(x) = x^2$
   $x\in[2,4)\ f(x)=2f(x-2)=2(x-2)^2$
   $x\in[-2,0)\ f(x)=2f(x+2)=2(x+2)^2$

12、奇套奇为奇，奇套偶为偶
   奇 $*$ 奇 = 偶，奇 $*$ 偶 = 奇
   偶导变奇

13、诸如 $x\in[-3,5]\ f(x)=\frac{a}{x-1}+x$
   令 $t=x-1$ 则 $t\in[-4,4]$ 换元令区间对称，进而得出 $f(t)$ 奇偶性

14、诸如：$f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)$
   令 $y=1$ 得 $f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)$
   代入 $x+1$

15、二次函数开根号 $\rightarrow$ 圆方程

16、$log_34>log_45>log_56$

17、若三次函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 有两个零点 $n$ 和 $m$ ，则原函数可以表示为 $f(x)=(x-n)^2(x-m)$ 或 $f(x)=(x-m)^2(x-n)$ 扩展：三次韦达定理

18、$\frac{ax+b}{cx+d}$ 对称中心为 $(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c})$

19、反函数可以由原函数的 $x$ 和 $y$ 互换得到

三角

1、积化和差公式：$sin(A+B)sin(A-B)=sin^2A - sin^2B=cos^2B-cos^2A$

2、$sin(A+B)cos(A-B)=sinAcosA+sinBcosB$

3、差分角：$cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]$

4、$tan\frac{α}{2}=\frac{sinα}{1+cosα}$

5、定边对定角 $\rightarrow$ 圆

6、角平分线定理：三角形的一个角的平分线分对边所成的两条线段与这两个角的两邻边对应成比例

7、求 $sin2A-\lambda cos2A$ 有最大值时 $\lambda$ 的取值范围：归一得到 $\sqrt{1+\lambda^2}sin(2A-\theta)$ 有 $tan\theta = \lambda$ 根据 $2A-\theta$ 可以取到 $\frac{\pi}{2}$ 算出 $\theta$ 的取值范围即可得到 $\lambda$ 的取值范围

8、已知锐角三角形角度关系求一角取值范围：
  如已知锐角三角形中 $C=2B$ 则有：

$$\begin{cases} 0<B<\frac{\pi}{2}\\ 0<C=2B<\frac{\pi}{2}\\ 0<A=\pi-B-C=\pi - 3B<\frac{\pi}{2} \end{cases}$$

$$\begin{cases} a^2+b^2-c^2>0\\ a^2+c^2-b^2>0\\ b^2+c^2-a^2>0 \end{cases}$$

9、化简 $\sqrt{1+sinα}$ 拆 $1$

10、角平分线想到面积

11、奔驰定理：$S_{\Delta}BOC\cdot \vec{OA}+S_{\Delta}AOC\cdot \vec{OB}+S_{\Delta}AOB\cdot \vec{OC}=\vec{0}$

12、$I$ 为三角形内心，$a\vec{IA}+b\vec{IB}+c\vec{IC}=\vec{0}$

13、广义托勒密定理：四边形 $ABCD$ 中，$|BD|\cdot|AC|\leq|AD|\cdot|BC|+|AB|\cdot|CD|$ ，取等条件是四点共圆

14、平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和

15、圆台侧面积 $\pi (r_1+r_2)\cdot l$

16、线线角范围 $(0,\frac{\pi}{2}]$，线面角 $(0,\frac{\pi}{2}]$，面面角范围 $(0,\pi]$

17、$w$ 不一定为正

18、$\Delta ABC$ 中 $tanA+tanB+tanC=tanA\cdot tanB \cdot tanC$

19、计算三角形面积若已知某个边的中点，可以转化为两倍的其它三角形的面积从而简化计算

20、三角函数有上下平移时，对称中心不在 $x$ 轴上，不是 $(x_0,0)$ 的形式

21、题目只给一个条件，第一题存在角与角成关系，可能该条件可以证明该关系始终成立

22、$|cosx|+cos2x=|cosx|+2|cosx|^2-1$

23、切化弦公式为 $tanA+tanC=\frac{sinB}{cosAcosC}$

24、$CE$ 为 $\Delta ABC$ 边上的高，则有 $CE^2=AE\cdot BE$

25、$x^2+xy+y^2=3$ ，可以通过配方得到 $(x+\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2=(\sqrt{3})^2$ 再进行三角换元

26、$\frac{1+sin2A}{cos2A}=\frac{1+tanA}{1-tanA}=tan(A+\frac{\pi}{4})$

27、$tanx$ 不在定义域内单调递增

平面向量

1、极化恒等式，设 $AB$ 中点为 $M$ 则有 $\vec{OA}\cdot\vec{OB}=\vec{OM}^2-\frac{1}{4}\vec{AB}^2$

2、基底法表示向量时，可以使用三点共线

3、$\vec{AO}\cdot\vec{AB}=\frac{1}{2}|\vec{AB}|^2$，其中 $O$ 为 $\Delta ABC$ 的外心

4、$\frac{\vec{AB}}{|AB|}+\frac{\vec{AC}}{|AC|}$ 表示角平分线的平行向量

5、$P$ 到直线 $AF$ 的距离 $\sqrt{|\vec{AP}|^2-(\frac{\vec{AP}\vec{AF}}{\vec{AF}})^2}$

复数

1、$|z+i|+|z-i|=4$ 轨迹为椭圆

2、$z\cdot \overline z=|z|^2$

3、若 $|z_1|=|z_2|$ ，则不一定有 $z_1=\plusmn z_2$

数列

1、等差数列公共公差：$[d_1,d_2]$

2、当题目出现公式中下标有 $n + 1$ 时，注意分类 $n=1$ 和 $n\geqslant 2$ 的情况

3、判断一个数列是递增还是递减亦或是先增后减、先减后增，可以用 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 得到的式子与 $1$ 比较

4、$a_{n+1}=2a_n+n$ $\Longrightarrow$ $\frac{a_{n+1}+A(n+1)+B}{a_n+An+B}=2$

5、$a_{n+1}+a_n=4n$ $\Longrightarrow$ $a_n+a_{n-1}=4(n-1)$ 作差即可

6、$a_{n+1}\cdot a_n =4^n$ $\Longrightarrow$ $a_n\cdot a_{n-1}=4^{n-1}$ 相除即可

7、$a_{n+1}=2a_n+n^2$ $\Longrightarrow$ $\{a_n+An^2+Bn+C \}$ 为等比数列

8、$a_{n+1}=pa_n+rq^n$
（1）$p \neq q$ $\Longrightarrow$ $\{a_n+\lambda q^n\}$ 为等比数列
（2）$p = q$ $\Longrightarrow$ $\{\frac{a_n}{\lambda q^n} \}$ 为等差数列

9、$a_{n+1}=a_n+3^n+n$ 可以用上述方法将 $a_{n+1}=a_n+n$ 转移为一个新的数列 $b_n$ 再加上 $3^n$ 求解

10、$a_n=\frac{3a_{n-1}+1}{a_{n-1}+3}$ 利用不动点法有 $k=\frac{3k+1}{k+3}$ 得出 $k=\pm 1$ 两边同时减去不动点 $k$ 再相除即可

11、$na_{n+1}=(n+1)a_n+1$ 两边同除 $n(n+1)$ 再裂项求和

12、$a_{n+1}=a_n+2\sqrt{a_n+1}+1$ 将右边的 $a_n+1$ 看作 $(\sqrt{a_n+1})^2$

13、$S_{2021}>0\Longrightarrow 2021a_{1011}>0$   $S_{2022}<0\Longrightarrow 1011(a_{1011}+a_{1012})<0$

14、$\frac{a_5}{b_5}=\frac{a_1+a_9}{b_1+b_9}=\frac{S_9}{T_9}$

15、$S_{n+1}=(\sqrt{S_n}+1)^2\Longrightarrow \sqrt{S_{n+1}}=\sqrt{S_n}+1$

16、根据 $tan(n+1-n)$ 推出 $tan(n)tan(n+1)$ 的前 $n$ 项和

17、$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n^2}<\frac{4}{4n^2-1}$

18、$\frac{1}{\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$

19、$\frac{2^n}{(2^n-1)^2}<\frac{2^n}{(2^n-1)(2^n-2)}$

20、已知等差或等比可以代入前几项直接得出关系式

21、$2^n(n^2+n)=2^n(A_n^2+B_n+c)-2^{n-1}(A_{n-1}^2+B_{n-1}+c)$

22、$\frac{4n^2}{(2n-1)(2n+1)}=1+\frac{1}{4n^2-1}$

23、$S_n=An^2+Bn+c$ 使得 $a_n$ 为等差数列的充要条件是 $c=0$

24、

25、$\frac{(2n-1)3^n-1}{(3^n+1)(3^{n+1}+1)}=\frac{n}{3^n}-\frac{n+1}{3^{n+1}}$

立体几何

1、计算动点 $PA+PB$ 利用翻折，翻折前可以先尝试补全图形

2、当且仅当母线长与上、下两底面圆半径之和相等时，圆台才有内切球

3、矩形 $ABCD$中，将 $\Delta CBD$ 沿 $BD$ 翻折至 $\Delta C'BD$ ，易知 $C'B$ 运动轨迹构成一个圆锥，当 $C'B$ 与 $AD$ 所成角最大时有 $C'B \perp AD$

4、正四面体外接圆与内接圆半径分别为 $\frac{3h}{4}$ 和 $\frac{h}{4}$ ，若棱长为 $a$ ，则正四面体高 $h=\frac{\sqrt{6}a}{3} ，$外接圆与内接圆半径分别为 $\frac{\sqrt{6}a}{4}$ 和 $\frac{\sqrt{6}a}{12}$

5、判断异面直线是否平行，先找点作其中一条直线所在平面，判断另一条直线是否穿过该平面

6、原图形的面积是侧方图的 $2\sqrt{2}$ 倍

7、四点外一点与四点形成的向量系数和为 $1$ 即共面

8、空间中的阿氏圆是球

9、圆台 $S_侧=\pi l (r_1+r_2)$

10、视线与 水平面 夹角为俯角

11、底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱

12、求三棱锥的棱切球，可以取对棱的中点分别作垂直交三棱锥的高于一点，该点即为圆心

13、求平面所截直线的交点坐标，首先求平面法向量，再将点设元表示，用向量之积等于零可求

直线和圆

1、不过点 $(x_0,y_0)$ 的直线可以设为 $m(x-x_0)+n(y-y_0)=1$

2、向量 $\vec{AB}$ 和 $\vec{BA}$ 都可以是直线 $l$ 的方向向量

3、在圆外，则夹角为锐角

4、直线重合不算平行也不算相交，相交只有一个交点

5、直线的倾斜角为 $[0,\pi)$

6、以 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ 为直径的圆方程为 $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=r^2$

圆锥曲线

1、诸如 $|AP||QB|=|AQ||PB|$，且 $A$，$P$，$Q$，$B$ 四点共线，可以利用 $L=\sqrt{1+k^2}(x_1-x_2)$ 消去斜率，得到关于四点横坐标的关系式，进而求解
2、动直线与圆恒有交点，先求出动直线恒过定点，再得出圆心与动点距离小于等于半径，可求圆的最小面积

3、阿波罗尼斯圆：到两个定点的距离值比等于不为 1 的定值的点的轨迹是圆

4、过圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 外一点 $P(m, n)$ 做两天切线，切点分别为 $A$ 和 $B$，则直线 $AB$ 的方程为 $(x-a)(m-a)+(y-b)(n-b)=r^2$

5、两个拥有共同端点的线段求长度和最大，转化到直线的同一侧

6、$A_1A_2\times B_1B_2=0$ 两直线相互垂直

7、截距相等也可以是经过原点的直线

8、圆外一点 $P$ 做圆的两条与圆的相交直线 $AB$ 和 直线 $CD$，则有 $|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|$

9、求方程注意是否需要挖点

10、过圆锥曲线弦两端点的切线焦点在准线上

11、过圆锥曲线两端点的切线与改弦围成的三角形称作阿基米德三角形，其面积最大值为 $\frac{b^4}{ac}$，若为抛物线，则面积最大值为 $p^2$，且切线交点与焦点的连线垂直于该弦

12、椭圆和双曲线共焦点，离心率分别为 $e_1$ 和 $e_2$，交点为 $P$，$\angle F_1PF_2=\theta$，则有 $\frac{1-cos\theta}{e_1^2}+\frac{1+cos\theta}{e_2^2}=1$

13、设 $M$ 和 $N$ 为过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，则对于任意形式的抛物线，有 $\frac{1}{|MF|}+\frac{1}{|NF|}=\frac{2}{p}$

14、过 $x$ 轴上一点 $P$ 做 $x$ 型椭圆的两条割线，四个交点形成的四边形对角线交点 $Q$ 在 $x$ 轴上且 $X_P\cdot X_Q=a^2$，过 $y$ 轴上一点 $P$ 做 $y$ 型椭圆的两条割线，则有 $Y_P\cdot Y_Q=b^2$

15、过焦点 $F$ 的直线与椭圆交于 $A,B$ 两点，直线的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $D$，则有 $\frac{|DF|}{|AB|}=\frac{e}{2}$

16、求开口向右的抛物线 $y^2=2px$ 切点弦方程时，可以两边同时求导得到 $2yy'=2p$

17、对于椭圆的小伴随圆 $x^2+y^2=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$ , 其切线与椭圆交于 $A$，$B$ 两点，切点为 $M$ ，则 $OA \perp OB$，由相似可知 $|OA||OB|=|OM|^2$

18、与椭圆或双曲线有两个交点，则需要注意直线与坐标轴重合的情况

19、双曲线联立要写二项式系数不为零

20、平面内到一个定点与定直线 $x=\plusmn\frac{a^2}{c}$ 的距离之比是 $e=\frac{c}{a}$ 的常数的动点的轨迹是双曲线

21、椭圆焦半径公式 $|PF_1|=a+eX_p$ ，$|PF_2|=a-eX_p$

22、两直线联立除了相加减，也可以相乘和相除

23、证明平分可以使用角平分线定理

24、从椭圆的一个焦点射出光线，光线碰到椭圆边界反射后的路径经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点射出光线，光线碰到双曲线边界反射后的路径的反向延长线经过另一个焦点

25、双曲线参数方程：$x=\frac{a}{cos\theta}$ $y=btan\theta$

26、由准线作两切线两切点所在直线过定点

27、已知离心率可以直接算渐近线方程

28、过椭圆上一点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于点 $M'$，若 $A,B$ 为椭圆上两点且 $MM'$ 为 $\angle AMB$ 的角平分线，则有过 $M'$ 的切线与直线 $AB$ 平行

29、面积一定要想到 $sin\theta$ 的表达式

30、未连接焦点，存在不等式，则可以尝试连接焦点使用定义

31、重心想到，$\frac{x_1+x_2+x_3}{3}=x_0$ $\frac{y_1+y_2+y_3}{3}=y_0$

32、在椭圆内，有 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}<1$

33、过椭圆焦点的直线交椭圆于 $P$ 和 $Q$ 两点，则有 $\frac{1}{|PF_1|}+\frac{1}{|QF_1|}=\frac{2a}{b^2}$ （双曲线也一样，焦点弦性质）

34、定比分点公式

35、双曲线中，若 $\vec{AF}=\lambda\vec{FB}$ ，直线 $AB$ 与 $x$ 轴的夹角为 $\theta$ 则有 $e|cos\theta|=|\frac{\lambda-1}{\lambda+1}|$

36、双曲线中，$P$ 为 $x$ 轴上一点，过 $P$ 的直线交两渐近线 $C$ 和 $D$ 两点，$|\vec{CP}=\lambda \vec{PD}|$ ，则有 $\frac{b}{a}=|tan\theta||\frac{\lambda-1}{\lambda+1}|$

37、$y$ 型双曲线第三定义斜率乘积 $\frac{a^2}{b^2}$

38、$S\Delta OAB=\frac{1}{2}|x_Ay_B-x_By_A|$

导数

1、先写定义域

2、已知$f(x)$ 图象，比较 $f(3)-f(2)$ 与 $f'(2)$ 大小时可以用 $\frac{f(3)-f(2)}{3-2}=k$ 计算

3、倾斜角为 $α$ ，问 $α$ 取值范围，注意 $α$ 取不到 $\frac{k\pi}{2}$

4、给出极值点求未知数，得出结果后需要检验

5、$(log_ax)'=\frac{1}{xlna}$ $(a^x)'=a^xlna$

6、导函数为 $x$ 则原函数可以是 $f(x)=\frac{x^2}{2}+c$ ,其中 $c$ 为常数

7、$f(x)=\frac{x^2+c}{ln(x+1)}$ 在 $x=1$ 时存在导数，此时 $ln(x+1)$ 趋近于 $0$，若存在导数，则只能分子为 $0$，进而解出 $c=-1$

8、若 $f'(x)=f'(6-x)$ ，则有 $f(x)=f(6-x)+c$

9、放缩不等式

$$\begin{cases} xlnx \geqslant x-1 (x\geqslant 1)\\ e^x \geqslant x^2-1 (x\geqslant 0)\\ lnx\geqslant \frac{2(x-1)}{x+1} (x\geqslant 1)\\ lnx < \frac{2(x-1)}{x+1} (0<x<1)\\ e^x<\frac{1}{1-x} (0<x<1) \end{cases}$$

10、糖水不等式：$\frac{b}{a}<\frac{b+m}{a+m}$ 其中 $a,b,m>0$

11、$x^x$ 可以取对数进行研究

12、$x^{-3}e^x=e^{x-3lnx}\geqslant x-3lnx+1$

概率统计

1、$P(\overline {AB})=P(\bar AB)+P(A \bar B)+P(\bar A \bar B)$

2、运用 $K^2 \geqslant k$ 进行独立性检验时，应该找 $K^2$ 恰好大于 $k$ 的值，若此时 $P(K^2 \geqslant k)=a$ 那么此时认为变量间不独立的结论出错的概率 不超过 $a$ ，也可以说变量间独立的结论 不出错 的概率不超过 $a$

3、卡方记得先假设 $H_0$，假设无关

4、分组求总方差：$S^2=\frac{m}{m+n}(s_1^2+(\overline{x_1}-\overline{x})^2)+\frac{n}{m+n}(S_2^2+(\overline{x_2}-\overline{x})^2))$

5、$\displaystyle C_n^m+C_n^{m-1}=C_{n+1}^m$

6、$(1+x)+(1+x)^2+...+(1+x)^n$ 可以用等比数列法

7、连在一起的 $n$ 块区域进行涂色，要求相邻区域不能同色，共有 $k$ 种颜色，则总共有 $(-1)^n(k-1)+(k-1)^n$ 种涂法

8、错位排列 $n!(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...+(-1)^n\frac{1}{n!})$

9、分布列中概率成一定关系（如等差数列），可以试着求出某个概率的值

10、超几何分布描述了从有限 $N$个物件（其中包含 $M$ 个指定种类的物件）中抽出 $n$ 个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）

11、$r$ $\in [0.75,1]$ 时线性相关程度较高

12、正态密度函数 $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$

13、残差是实际观察值与估计值（拟合值）之间的差

14、不是在回归方程上的点越多拟合效果越好，若有点离直线很远，则拟合效果也不好

15、已知 $P(\overline A \ \overline B)$，则有 $P(\overline A \ \overline B)=P(\overline A \cap \overline B)$，$P(A)+P(B)+P(AB)=P(A \cup B)=1-P(\overline A \cap \overline B)$

16、正态分布曲线中，$\sigma$ 越大曲线越扁平，最大值为 $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$

17、对立事件并不相互独立

18、以总检测期望为决策依据，选用 $n$ 个一检时，先选出 $n$ 个一检的期望 $E$ 再用 $\frac{E}{n}$ 反应平均检测情况从而反应总体的检测期望

19、注意 $(1+2x)^2+(1+2x)^3+...+(1+2x)^7$ 含有 $x^2$ 的二项式系数不等同于 $(1+2x+1)^7$ 含有 $x^2$ 的二项式系数

20、赢对方两场才算比赛结束，则场次一定为偶数

21、求中位数应先设中位数然后再用比例求解

22、已知 $\theta$ 的范围，求 $tan2\theta$ 或其它倍角时候需要判断正负

碎记

1、绝对值提公因式：$|kx^2+x|=|x||kx+1|$

2、均值不等式：$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leqslant \sqrt{ab} \leqslant \frac{b-a}{lnb-lna} \leqslant \frac{a+b}{2}\leqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

（ 调和平均数 $\leqslant$ 几何平均数 $\leqslant$ 对数平均数 $\leqslant$ 算术平均数 $\leqslant$ 平方平均数 ）
可以推广 均值不等式通式

3、三角函数图像的周期可以有无穷个取值，但需要注意的是条件是否为最小正周期

4、绝对值不等式：$|a-b|\leqslant|a|-|b|\leqslant|a+b|$

5、指数函数 $a^x$ 中 $a \neq 0$

6、对于有定义域的复合函数，给出其单调区间，应判断内层函数在此区间内的取值范围在定义域内
  例如：$f(x)=log_2(x^2-ax+a)$ 在 $(-3,-1)$ 上单调，则应有 $x^2-ax+a$ 在 $(-3,-1)$ 上恒大于零

7、快速判断函数在一个区间内是否单调可以代入特殊值，判断是否相等，若相等则函数在该区间不单调，不等不一定单调

8、比较大小可以尝试相除

9、过定点的圆与已知直线相切，则该定点到直线的垂线段为该圆面积最小时的直径

10、倾斜角为 $2$ 倍，不是斜率为 $2$ 倍

11、区分 $0$ 还是 $\vec{o}$

12、注意区分斜率和向量公式

13、圆锥曲线多个直线还是逐一设斜率，设而不求计算

14、充分必要性的判断，若求不出取值，则利用原始的定义进行推导

15、向量夹角 $\neq$ 直线夹角，不需要取绝对值

16、外心并非重心啊啊，不是啥 $\frac{1}{3}$

17、点到直线的距离算出 $cos\theta$ 再用勾股

18、合分比定理：若 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ 且 $a>b,c>d$ 则有 $\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$

19、过一点与图像只有一个公共点的直线，也可以是与坐标轴平行直接穿过图像，不要漏掉这种情况

高数碎记

泰勒展开

常见的泰勒展开式：
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$
$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})$
$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n!)}+o(x^{2n+1})$
$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
$\frac{1}{1-x}=x+x^2+x^3+...+x^n+o(x^n)$
$(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+...+\frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$
$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...+x^n+o(x^n)$
$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+...+(-1)^nx^n+o(x^n)$
其中 $o()$ 为高阶无穷小