高中物理模型碎记

万有引力

双星模型

双星的质量分别为 $m_1、m_2$， 它们间的距离为 $L$ ,求各自半径大小 $r_1、r_2$ 的大小以及比值，线速度 $v_1、v_2$ 的大小以及比值，周期 $T$ 的表达式
双星之间的向心力均为两者间的万有引力提供，则有：
$\frac{Gm_1m_2}{L^2} = m_1ω^2r_1$
$\frac{Gm_1m_2}{L^2} = m_2ω^2r_2$
得：$m_1r_1=m_2r_2$
$r_1+r_2=L$
$r_1=\frac{m_2L}{m_1+m_2}$
$r_2=\frac{m_1L}{m_1+m_2}$
$\frac{r_1}{r_2}=\frac{m_2}{m_1}$ $\frac{v_1}{v_2}=\frac{ωr_1}{ωr_2}=\frac{m_2}{m_1}$
$\frac{Gm_1m_2}{L^2} = m_1(\frac{2\pi}{T})^2r_1$
$\frac{Gm_1m_2}{L^2} = m_2(\frac{2\pi}{T})^2r_2$
$\frac{G(m_1+m_2)}{L^2} = (\frac{2\pi}{T})^2L$
$M = m_1+m_2 = \frac{4\pi^2L^3}{GT^2}$

功能关系

非质点类物体系统（链条、过山车）

自由释放链条，当链条 D 端到达 B 点时，求链条速率
整个过程可以看作 $L-a$ 段的重力势能改变做功
$m'=\frac{m}{L}(L-a)$
$\Delta h = (a+\frac{L-a}{2})sinα=\frac{L+a}{2}sinα$

动量

小车 + 球摆动模型

小车质量为 $M$，球的质量为 $m$，绳子的长度为 $L$
给予小球向下的初速度 $v_0$
求绳子第一次竖直的时候小车的位移 $s$，小车和球的速度 $v_1、v_2$
易知水平动量改变量为 $0$
则有：

$$\begin{cases}0 = mx_1 + Mx_2\\ 0= mv_1 + Mv_2 \\ mgL + \frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}Mv_2^2 \end{cases}$$

碰撞的一般情况

电磁感应

含 “ 源 ” 电动势

电源提供的电能为 $W=qE$

含电阻的变压器

动态分析时可以将线圈等效为电阻，以左边为例
$\frac{n_1}{n_2}=\frac{U_1}{U_2}=\frac{I_2}{I_1}$
$U_1=\frac{n_1}{n_2}U_2$
$I_1=\frac{n_2}{n_1}I_2$
两式相除得到：$\frac{U_1}{I_1}=(\frac{n_1}{n_2})^2R_右$